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Messfehler und Statistik
Genauigkeit, Richtigkeit und Präzision
Ein einzelner Messwert $x_i$ stimmt fast nie mit dem wahren Wert $x$ überein, sondern hat eine unbekannte Messabweichung $\Delta x_i$. Je größer die Messabweichung ist, desto geringer ist die Genauigkeit. Wiederholt man die Messung aber $n$ mal, so erhält man unterschiedliche Messwerte. Je stärker sich die einzelnen Messwerte unterscheiden, desto geringer ist die Präzision.
| Messabweichung | Differenz zwischen Messwert und wahrem Wert. |
|---|---|
| Genauigkeit (genau/ungenau) | Übereinstimmung von Messwert und wahrem Wert |
| Richtigkeit (richtig/falsch) | Übereinstimmung des Mittelwerts der Messwerte mit dem wahren Wert |
| Präzision (präzise/unpräzise) | Übereinstimmung verschiedener Messwerte |
Aus den einzelnen Messwerten $x_i$ kann man einen arithmetischen Mittelwert $\overline{x}$ und eine empirische Streuung $s$ berechnen. Je kleiner die Streuung ist, desto besser ist die Präzision der Messung. Der Mittelwert $\overline{x}$ weicht oft weniger stark vom wahren Wert ab, als der einzelne Messwert, je besser die Übereinstimmung ist, desto besser ist die Richtigkeit der Messung.
| Arithmetischer Mittelwert von $n$ Messwerten | $\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$ |
|---|---|
| Streuung von $n$ Messwerten | $s =\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}$ |
Statistische und Systematische Fehler
Wenn man es nur mit zufälligen Messabweichungen zu tun hat, stimmen der Mittelwert aus einer großen Zahl von Messungen und der wahre Wert exakt überein. Zufällige (statistische) Fehler sind manchmal positiv und manchmal negativ, so dass sie im Mittel den Messwert nicht beeinflussen. Typische Beispiele für statistische Fehler sind das elektronische Rauschen der Messgeräte, schlechte Positioniergenauigkeit von Messgerät und Messprobe, zufälliger Wert der letzten angezeigten Stelle am Messgerät.
Bei rein statistischen Fehler lässt sich durch eine hohe Zahl von Messungen der Messwert fast vollständig reduzieren. Bei $n$ gaußförmig verteilten Einzelmesswerten $x_i$ ist der wahre Wert der Mittelwert $\mu = \overline{x}$ der Verteilung und der Fehler des Mittelwerts die Streuung ($\sigma = s$) der Messwerte geteilt durch die Wurzel der Anzahl der Messungen: $\sigma_{\overline{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Wiederholung und Vergleich
Die $n$ Messungen können auf Unterschiedliche Arten zustande kommen. Führt man die Messung $n$ mal mit demselben Verfahren mit dem selben Messgerät im selben Labor von derselben Person innerhalb kurzer Zeit durch, spricht man von Wiederholung. Hier ist die Übereinstimmung der einzelnen Messwerte am besten. Am schlechtesten ist die Übereinstimmung der einzelnen Messwerte, wenn das selbe Messverfahren in verschiedenen Labors von verschiedenen Personen und mit verschiedenen Messgeräten durchgeführt wird. In diesem Fall spricht man nicht von Wiederholung sondern von Vergleich. Dazwischen gibt es natürliche einen breiten Übergang.
Systematische Fehler lassen sich durch die Wiederholung der Messung nicht reduzieren. Sie treten immer auf die gleiche Art und Weise auf.
Kalibrierung, Justage und Eichung
DIN EN ISO 9001:2008
Bei der Kalibrierung wird der Messwert mit dem wahren Wert verglichen und untersucht welche statistischen und systematischen Fehler den Messwert verfälschen.
Bei der anschießenden Justage können systematische Fehler direkt im Messverfahren berücksichtigt werden. Beispielweise kann bei einer Waage die Skala so angebracht werden, dass Messwert und wahrer Wert übereinstimmen.
Für bestimmte Messgeräte schreibt das Mess- und Eichgesetz zum Verbraucherschutz regelmäßig eine Kalibrierung vor (z.B. Ladentischwaagen, Zapfsäulen, Geschwindigkeitsmessgerät, Stromzähler, …). Nur in diesen Fällen spricht man von einer Eichung.
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