Licht im Terrarium

\[ \frac{dT(t)}{dt} = \underbrace{c\frac{dQ}{dt}}_{zugeführte Wärme} - \underbrace{a(T(t)-T_0)}_{Wärmeleitung} - \underbrace{b(T(t)^4-T_0^4)}_{Wärmestrahlung} \] mit

• $c$: Wärmekapazität des Systems ($c=mc_{spez}$, z.B. $c_{spez}=1kJ/kg/K$ für Luft)
• $a$: Wärmeleitvermögen des Systems ($a=\lambda\cdot d/A$, z.B. $\lambda = 0.76 W/m/K$ für Glas, $d=4 mm$ für Glas, $A$: Oberfläche)
• $b$: Emissionsvermögen des Systems ($b=\epsilon\sigma A$, z.B. $\epsilon = 0.5$, $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} W/m^2/K^4$ )

Ansatz: begrenztes Wachstum $T(t)=T_f + (T_0-T_f)e^{-kt}$
mit $T(t=0)=T_0$ (Umgebungstemperatur) und $T(t=\infty)=T_f$ (maximal erreichbare Endtemperatur).

eingesetzt: \[ \begin{align} (T_0-T_f)(-k)e^{-kt} &= c\frac{dQ}{dt} - a(T_f + (T_0-T_f)e^{-kt} - T_0) \\ & - b( T_f^4 + 4T_f^3(T_0-T_f)e^{-kt} + 6T_f^2(T_0-T_f)^2e^{-2kt} + 4T_f(T_0-T_f)^3e^{-3kt} + (T_0-T_f)^4e^{-4kt} - T_0^4) \\ k(T_0-T_f)e^{-kt} &= c\frac{dQ}{dt} + a(T_0 - T_f) + b(T_0^4 - T_f^4) \\ & - e^{-kt} ( a(T_0-T_f) + 4 b T_f^3(T_0-T_f)) \\ & - e^{-2kt} 6bT_f^2(T_0-T_f)^2 \\ & - e^{-3kt} 4bT_f(T_0-T_f)^3 \\ & - e^{-4kt} b(T_0-T_f)^4 \end{align} \] für $t=\infty$ ergibt sich eine Formel für die maximal erreichbare Endtemperatur $T_f$: \[ \begin{align} 0 &= c\frac{dQ}{dt} + a(T_0 - T_f) + b(T_0^4 - T_f^4) \end{align} \] für $t=0$ ergibt sich eine Formel für die Geschwindigkeit des Aufheizvorgangs $k$: \[ \begin{align} 0 &= (a-k)(T_0-T_f) + 4 b T_f^3(T_0-T_f) + 6bT_f^2(T_0-T_f)^2 + 4bT_f(T_0-T_f)^3 + b(T_0-T_f)^4 \\ k &= a + 4 b T_f^3 + 6bT_f^2(T_0-T_f) + 4bT_f(T_0-T_f)^2 + b(T_0-T_f)^3 \end{align} \]